動態(tài)幾何與函數(shù)問題的總結
動態(tài)幾何與函數(shù)問題的總結
【前言】
在第三講中我們已經(jīng)研究了動態(tài)幾何問題的一般思路，但是那時候沒有對其中夾雜的函數(shù)問題展開來分析。整體說來，代幾綜合題大概有兩個側重，第一個是側重幾何方面，利用幾何圖形的性質(zhì)結合代數(shù)知識來考察。而另一個則是側重代數(shù)方面，幾何性質(zhì)只是一個引入點，更多的考察了考生的計算功夫。但是這兩種側重也沒有很嚴格的分野，很多題型都很類似。所以相比昨天第七講的問題，這一講將重點放在了對函數(shù)，方程的應用上。其中通過圖中已給幾何圖形構建函數(shù)是重點考察對象。不過從近年中考的趨勢上看，要求所構建的函數(shù)為很復雜的二次函數(shù)可能性略小，大多是一個較為簡單的函數(shù)式，體現(xiàn)了中考數(shù)學的考試說明當中減少復雜性增大靈活性的主體思想。但是這也不能放松，所以筆者也選擇了一些較有代表性的復雜計算題僅供參考。
【例1】
如圖①所示，直角梯形OABC的頂點A、C分別在y軸正半軸與 軸負半軸上.過點B、C作直線 .將直線 平移，平移后的直線 與 軸交于點D，與 軸交于點E.
(1)將直線 向右平移，設平移距離CD為 (t0)，直角梯形OABC被直線 掃過的面積(圖中陰影部份)為 ， 關于 的函數(shù)圖象如圖②所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，且NQ平行于x軸，N點橫坐標為4，求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積.
(2)當 時，求S關于 的函數(shù)解析式.
【思路分析】本題雖然不難，但是非常考驗考生對于函數(shù)圖像的理解。很多考生看到圖二的函數(shù)圖像沒有數(shù)學感覺，反應不上來那個M點是何含義，于是無從下手。其實M點就表示當平移距離為2的時候整個陰影部分面積為8，相對的，N點表示移動距離超過4之后陰影部分面積就不動了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當D移動過了0點的時候.所以根據(jù)這么幾種情況去作答就可以了。第二問建立函數(shù)式則需要看出當 時，陰影部分面積就是整個梯形面積減去△ODE的面積，于是根據(jù)這個構造函數(shù)式即可。動態(tài)幾何連帶函數(shù)的問題往往需要找出圖形的移動與函數(shù)的變化之間的對應關系，然后利用對應關系去分段求解。
【解】
(1)由圖(2)知， 點的坐標是(2，8)
由此判斷： ;
∵ 點的橫坐標是4， 是平行于 軸的射線，
直角梯形 的面積為： ..... (3分)
(2)當 時，
陰影部分的面積=直角梯形 的面積 的面積 (基本上實際考試中碰到這種求怪異圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補關系)
∵
.
.
【例2】
已知：在矩形 中， ， .分別以 所在直線為 軸和 軸，建立如圖所示的平面直角坐標系. 是邊 上的一個動點(不與 重合)，過 點的反比例函數(shù) 的圖象與 邊交于點 .
(1)求證： 與 的面積相等;
(2)記 ，求當 為何值時， 有最大值，最大值為多少?
(3)請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點 ，使得將 沿 對折后， 點恰好落在 上?若存在，求出點 的坐標;若不存在，請說明理由.
【思路分析】本題看似幾何問題，但是實際上△AOE和△FOB這兩個直角三角形的底邊和高恰好就是E,F點的橫坐標和縱坐標，而這個乘積恰好就是反比例函數(shù)的系數(shù)K。所以直接設點即可輕松證出結果。第二問有些同學可能依然糾結這個△EOF的面積該怎么算，事實上從第一問的結果就可以發(fā)現(xiàn)這個矩形中的三個RT△面積都是異常好求的。于是利用矩形面積減去三個小RT△面積即可，經(jīng)過一系列化簡即可求得表達式，利用對稱軸求出最大值。第三問的思路就是假設這個點存在，看看能不能證明出來。因為是翻折問題，翻折之后大量相等的角和邊,所以自然去利用三角形相似去求解，于是變成一道比較典型的幾何題目，做垂線就OK.
【解析】
(1)證明：設 ， ， 與 的面積分別為 ， ，
由題意得 ， .
， .
，即 與 的面積相等.
(2)由題意知： 兩點坐標分別為 ， ， (想不到這樣設點也可以直接用X去代入,麻煩一點而已)
，
.
當 時， 有最大值.
.
(3)解：設存在這樣的點 ，將 沿 對折后， 點恰好落在 邊上的 點，過點 作 ，垂足為 .
由題意得： ， ， ，
， .
又 ，
.(將已知和所求的量放在這一對有關聯(lián)的三角形當中)
， ，
.
， ，解得 .
.
存在符合條件的點 ，它的坐標為 .
【例3】
如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21。動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設運動的時間為t(秒)。
(1)設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式;
(2)當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形?
(3)是否存在時刻t，使得PQBD?若存在，求出t的值;若不存在，請說明理由。
【思路分析】 本題是一道和一元二次方程結合較為緊密的代幾綜合題，大量時間都在計算上。第三講的時候我們已經(jīng)探討過解決動點問題的思路就是看運動過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變化。對于該題來說，當P,Q運動時，△BPQ的高的長度始終不變，即為CD長，所以只需關注變化的底邊BQ即可，于是列出函數(shù)式。第二問則要分類討論，牢牢把握住高不變這個條件，通過勾股定理建立方程去求解。第三問很多同學畫出圖形以后就不知如何下手，此時不要忘記這個題目中貫穿始終的不動量高，過Q做出垂線以后就發(fā)現(xiàn)利用角度互余關系就可以證明△PEQ和△BCD是相似的，于是建立兩個直角三角形直角邊的比例關系，而這之中只有PE是未知的，于是得解。 這道題放在這里是想讓各位體會一下那個不動量高的作用，每一小問都和它休戚相關，利用這個不變的高區(qū)建立函數(shù)，建立方程組乃至比例關系才能拿到全分。
【解析】
解： (1)如圖1，過點P作PMBC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形。
PM=DC=12
∵QB=16-t，S= 12(16-t)=96-t
(2)由圖可知：CM=PD=2t，CQ=t。熱以B、P、Q三點
為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況。
�、偃鬚Q=BQ。在Rt△PMQ中， ，由PQ2=BQ2
得 ，解得t= ;
②若BP=BQ。在Rt△PMB中， 。由BP2=BQ2 得：
即 。
由于=-7040
無解，PBBQ
③若PB=PQ。由PB2=PQ2，得
整理，得 。解得 (舍)(想想看為什么要舍?函數(shù)自變量的取值范圍是多少?)
綜合上面的討論可知：當t= 秒時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形。
(3)設存在時刻t，使得PQBD。如圖2，過點Q作QEADS，垂足為E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，
得 ，即 。解得t=9
所以，當t=9秒時，PQBD。
【例4】
在Rt△ABC中，C=90，AC = 3，AB = 5.點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回;點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動.伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E.點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止.設點P、Q運動的時間是t秒(t0).
(1)當t = 2時，AP = ，點Q到AC的距離是 ;
(2)在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與
t的函數(shù)關系式;(不必寫出t的取值范圍)
(3)在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成
為直角梯形?若能，求t的值.若不能，請說明理由;
(4)當DE經(jīng)過點C 時，請直接寫出t的值.
【思路分析】依然是一道放在幾何圖形當中的函數(shù)題。但是本題略有不同的是動點有一個折返的動作，所以加大了思考的難度,但是這個條件基本不影響做題,不需要太專注于其上。首先應當注意到的是在運動過程中DE保持垂直平分PQ這一條件，然后判斷t可能的范圍.因為給出了AC和CB的長度,據(jù)此估計出運動可能呈現(xiàn)的狀態(tài).第一問簡單不用多說,第二問做出垂線利用三角形內(nèi)的比例關系做出函數(shù).第三問尤其注意直角梯形在本題中有兩種呈現(xiàn)方式.DE//QB和PQ//BC都要分情況討論.最后一問則可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量關系去求解.
解：(1)1， ;
(2)作QFAC于點F，如圖3， AQ = CP= t， .
由△AQF∽△ABC， ，
得 . .
，
即 .
(3)能.
①當DE∥QB時，如圖4.
∵DEPQ，PQQB，四邊形QBED是直角梯形.
此時AQP=90.
由△APQ ∽△ABC，得 ，
即 . 解得 .
�、谌鐖D5，當PQ∥BC時，DEBC，四邊形QBED是直角梯形.
此時APQ =90.
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即 . 解得 .
(4) 或 .
【注：①點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C.
方法一、連接QC，作QGBC于點G，如圖6.
， .
由 ，得 ，解得 .
方法二、由 ，得 ，進而可得
，得 ， . .
�、邳cP由A向C運動，DE經(jīng)過點C，如圖7.
，
【例5】
如圖，在 中， ， ， ， 分別是邊 的中點，點 從點 出發(fā)沿 方向運動，過點 作 于 ，過點 作 交 于
，當點 與點 重合時，點 停止運動.設 ， .
(1)求點 到 的距離 的長;
(2)求 關于 的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(3)是否存在點 ，使 為等腰三角形?若存在，請求出所有滿足要求的 的值;若不存在，請說明理由.
【思路分析】本題也是一道較為典型的題。第一問其實就是重要暗示，算DH的長度實際上就是后面PQ的長度，在構建等腰三角形中發(fā)揮重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二問列函數(shù)式，最重要的是找到y(tǒng)(QR)和x(BQ)要通過哪些量練聯(lián)系在一起.我們發(fā)現(xiàn)RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例關系得出結果.第三問依然是要分類討論,但凡看到構成特殊圖形的情況都要去討論一下.不同類之間的解法也有所不同,需要注意一下.
解：(1) ， ， ， .
點 為 中點， .
， .
，
， .
(2) ， .
， ，
， ，
即 關于 的函數(shù)關系式為： .
(3)存在，分三種情況：
①當 時，過點 作 于 ，則 .
， ，
.
， ，
， .
�、诋� 時， ，
.
③當 時，則 為 中垂線上的點，
于是點 為 的中點，
.
，
， .
綜上所述，當 為 或6或 時， 為等腰三角形.
【總結】通過以上的例題，大家心里大概都有了底。整體來說這類函數(shù)型動態(tài)幾何題是偏難的，不光對幾何圖形的分析有一定要求，而且還很考驗考生的方程、函數(shù)的計算能力。解決這類問題需要注意這么幾個點：首先和純動態(tài)幾何題一樣，始終把握在變化中不動的量將函數(shù)的變量放在同一組關系中建立聯(lián)系,尤其是找出題中是否有可以將這些條件聯(lián)系起來的相似三角形組來構造比例關系。其次要注意特殊圖形如等腰三角形，直角梯形等的分類討論。第三要注意函數(shù)自變量的取值范圍，合理篩選出可能的情況。最后就是在計算環(huán)節(jié)認真細心，做好每一步。
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